１９ 不完全性定理

１９　不完全性定理 【宇宙とは】宇宙との対話

○正しいとも正しくないとも判定できない命題が存在する。
・・・1930年にゲーデル（オーストリア　1906－78）が証明した。
・・・その後、チューリングが、ある命題が真偽を判定できない命題であるかどうかを、あらかじめチェックする統一的な方法がないということを証明した。

第1不完全性定理 
自然数論を含む帰納的公理化可能な理論が、ω無矛盾であれば、証明も反証もできない命題が存在する（＝不完全）。＝一部、完全性と無矛盾性は両立できない命題がある。
第2不完全性定理 
自然数論を含む帰納的公理化可能な理論が、無矛盾であれば、自身の無矛盾性を証明できない。

☆検証不能であり、かつ検証不能なことをあらかじめチェックできない命題があるとすれ
ば、「探索は永遠である」ということになる。
・・・探索を一生続けても何も残らないかもしれないが、・・・

☆すべてのことを一つの理論で説明できないのなら、複数の理論を使えばいい。

【参　照】
1. 藤原正彦／小川洋子「世にも美しい数学入門」20050406 (p.147～151)
2.不完全性定理 - Wikipedia
3. ゲーデルの不完全性定理をお教えください。 - 知恵袋 - Yahoo! JAPAN
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1410933224



【更新履歴】
20170429　定理の追加
20170706　複数の理論を使うことの提案